Упр.18.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

31. Докажите, что выражение $$(a-3b)(a-3b-4)+4$$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Преобразуем выражение:

$$(a-3b)(a-3b-4)+4=(a-3b)^2-4(a-3b)+4.$$

Это квадрат двучлена:

$$(a-3b)^2-4(a-3b)+4=((a-3b)-2)^2=(a-3b-2)^2.$$

Квадрат любого числа неотрицателен, значит

$$(a-3b-2)^2\ge 0$$

при любых значениях переменных.

Ответ

$$(a-3b)(a-3b-4)+4\ge 0$$
при любых значениях $$a$$ и $$b$$.