Упр.18.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 18.30. Представьте многочлен 81/16 x^4+y^8-9/2 x^2 y^4 в виде произведения квадратов двух двучленов.

Подробный ответ

Заметим, что

$$\frac{81}{16}x^4=\left(\frac{9}{4}x^2\right)^2,\qquad y^8=(y^4)^2,\qquad \frac{9}{2}x^2y^4=2\cdot \frac{9}{4}x^2\cdot y^4.$$

Тогда данный многочлен можно представить как квадрат разности:

$$\frac{81}{16}x^4+y^8-\frac{9}{2}x^2y^4=\left(\frac{9}{4}x^2-y^4\right)^2.$$

Разность квадратов раскладывается на множители:

$$\frac{9}{4}x^2-y^4=\left(\frac{3}{2}x-y^2\right)\left(\frac{3}{2}x+y^2\right).$$

Следовательно,

$$\frac{81}{16}x^4+y^8-\frac{9}{2}x^2y^4=\left(\left(\frac{3}{2}x-y^2\right)\left(\frac{3}{2}x+y^2\right)\right)^2.$$

Итак, это произведение квадратов двух двучленов:

$$\left(\frac{3}{2}x-y^2\right)^2\left(\frac{3}{2}x+y^2\right)^2.$$