Упр.18.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.26. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $$x$$. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$:
   1) $$-x^2+4x-12$$;
   2) $$22x-121x^2-2$$;
   3) $$-56-36x^2-84x$$.

1. $$-x^2+4x-12=-(x^2-4x+12)=-(x^2-4x+4+8)=-(x-2)^2-8.$$
   Так как $$-(x-2)^2\le 0,$$ то
   $$-(x-2)^2-8<0$$ при всех $$x$$.

   Наибольшее значение выражения равно $$-8$$ и достигается при $$x=2$$.

2. $$22x-121x^2-2=-(121x^2-22x+2).$$
   Представим квадрат двучлена:
   $$121x^2-22x+2=121x^2-22x+1+1=(11x-1)^2+1.$$
   Тогда
   $$22x-121x^2-2=-(11x-1)^2-1.$$

   Поскольку $$-(11x-1)^2\le 0,$$ получаем
   $$-(11x-1)^2-1<0$$ при всех $$x$$.

   Наибольшее значение равно $$-1$$ и достигается при
   $$11x-1=0,\quad x=\frac{1}{11}.$$

3. $$-56-36x^2-84x=-(36x^2+84x+56).$$
   Выделим полный квадрат:
   $$36x^2+84x+56=36x^2+84x+49+7=(6x+7)^2+7.$$
   Тогда
   $$-56-36x^2-84x=-(6x+7)^2-7.$$

   Так как $$-(6x+7)^2\le 0,$$ то
   $$-(6x+7)^2-7<0$$ при всех $$x$$.

   Наибольшее значение равно $$-7$$ и достигается при
   $$6x+7=0,\quad x=-\frac{7}{6}.$$

Ответ

1) $$-8$$ при $$x=2$$; 2) $$-1$$ при $$x=\frac{1}{11}$$; 3) $$-7$$ при $$x=-\frac{7}{6}$$.