Упр.18.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.24. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $$x$$. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$: 1) $$x^2-6x+10$$; 2) $$16x^2+24x+25$$; 3) $$x^2+x+1$$.

1. $$x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1.$$

   Так как $$(x-3)^2 \ge 0$$ при всех $$x$$, то

   $$x^2-6x+10 \ge 1 > 0.$$

   Наименьшее значение равно $$1$$ при $$x=3$$.

2. $$16x^2+24x+25=16x^2+24x+9+16=(4x+3)^2+16.$$

   Так как $$(4x+3)^2 \ge 0$$ при всех $$x$$, то

   $$16x^2+24x+25 \ge 16 > 0.$$

   Наименьшее значение равно $$16$$ при $$4x+3=0$$, то есть при $$x=-\frac{3}{4}$$.

3. $$x^2+x+1=x^2+2x\cdot\frac12+\frac14-\frac14+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34.$$

   Так как $$\left(x+\frac12\right)^2 \ge 0$$ при всех $$x$$, то

   $$x^2+x+1 \ge \frac34 > 0.$$

   Наименьшее значение равно $$\frac34$$ при $$x+\frac12=0$$, то есть при $$x=-\frac12$$.

Ответ

1) $$1$$ при $$x=3$$; 2) $$16$$ при $$x=-\frac34$$; 3) $$\frac34$$ при $$x=-\frac12$$.