Упр.18.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 18.20. Докажите тождество:
   1) $$(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2;$$
   2) $$(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2;$$
   3) $$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25;$$
   4) $$(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16,$$ где $$n$$ — произвольное натуральное число.

1. $$\begin{aligned} (a-1)^2+2(a-1)+1&=(a-1)^2+2(a-1)\cdot 1+1^2\\ &=(a-1+1)^2\\ &=a^2. \end{aligned}$$

2. $$\begin{aligned} (a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2&=(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2\\ &=(\, (a+b)-(a-b)\, )^2\\ &=(2b)^2\\ &=4b^2. \end{aligned}$$

3. $$\begin{aligned} (a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2&=(a-8)^2-2(a-8)(a-3)+(a-3)^2\\ &=(\, (a-8)-(a-3)\, )^2\\ &=(-5)^2\\ &=25. \end{aligned}$$

4. $$\begin{aligned} (x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2&=(\, (x^n-2)-(x^n+2)\, )^2\\ &=(-4)^2\\ &=16. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$a^2$$; 2) $$4b^2$$; 3) $$25$$; 4) $$16$$.