Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 17.46. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 17-46 715

Подробный ответ

Пусть пять последовательных натуральных чисел имеют вид $$n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда сумма их квадратов равна

$$ (n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 $$

$$ = (n^2-4n+4)+(n^2-2n+1)+n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4) $$

$$ =5n^2+10=5(n^2+2). $$

Предположим, что это число является квадратом натурального числа. Тогда оно должно делиться на $$5$$. Значит, и число $$n^2+2$$ должно делиться на $$5$$.

Но квадрат любого натурального числа по модулю $$5$$ может давать только остатки $$0,1,4$$. Тогда возможные значения $$n^2+2$$ по модулю $$5$$ равны:

$$0+2\equiv 2,\quad 1+2\equiv 3,\quad 4+2\equiv 1 \pmod 5.$$

Остаток $$0$$ не получается. Следовательно, $$n^2+2$$ не делится на $$5$$ ни при каком натуральном $$n$$.

Значит, число $$5(n^2+2)$$ не может быть квадратом натурального числа.