Упр.17.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

Раскроем скобки в левой части тождества:

$$ (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2 $$
$$ = (4n^2+4n+1)+(4n^4+8n^3+4n^2) $$
$$ = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1. $$

Теперь раскроем квадрат в правой части:

$$ (2n^2+2n+1)^2 $$
$$ = (2n^2+2n)^2+2(2n^2+2n)\cdot 1+1^2 $$
$$ = 4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1 $$
$$ = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1. $$

Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.

Ответ

$$ (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2. $$