Упр.17.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 17.32. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 17.1 и 17.2, восстановите его доказательство.

Рассмотрим квадрат со стороной $$a+b$$. Его площадь можно найти двумя способами.

С одной стороны, площадь всего квадрата равна

$$(a+b)^2.$$

С другой стороны, этот квадрат можно разбить на квадрат со стороной $$a$$, два прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$ и квадрат со стороной $$b$$. Тогда его площадь равна

$$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$$

Следовательно,

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Теперь рассмотрим квадрат со стороной $$a-b$$. Его площадь равна

$$(a-b)^2.$$

Если из квадрата со стороной $$a$$ вычесть два прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$, а затем прибавить квадрат со стороной $$b$$, получим

$$a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$$

Значит,

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Ответ

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$