Задание 17 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 17. Докажите, что при любом целом n значение выражения (n — 2)(n — 1 )n(n + 1) + 1 является квадратом целого числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 17-17 715

$$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1 $$
сгруппируем множители:
$$ (n-2)(n+1)\cdot(n-1)n+1. $$
Вычислим каждую скобку:
$$ (n-2)(n+1)=n^2-n-2, $$
$$ (n-1)n=n^2-n. $$
Тогда
$$ (n^2-n-2)(n^2-n)+1. $$
Обозначим
$$ a=n^2-n. $$
Получим
$$ (a-2)a+1=a^2-2a+1=(a-1)^2. $$
Возвращаясь к переменной $$n$$, имеем
$$ (n^2-n-1)^2. $$
Значит, выражение при любом целом $$n$$ является квадратом целого числа.

Ответ

$$ (n^2-n-1)^2 $$