Упр.17.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 17.27. Докажите тождество:
   1) $$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2);$$
   2) $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab;$$
   3) $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab;$$
   4) $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.$$

1. Раскроем скобки:
   $$\begin{aligned} (a+b)^2+(a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)\\ &=2a^2+2b^2\\ &=2(a^2+b^2). \end{aligned}$$

2. Найдём разность квадратов:
   $$\begin{aligned} (a+b)^2-(a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\ &=4ab. \end{aligned}$$

3. Выразим сумму квадратов:
   $$\begin{aligned} (a+b)^2-2ab&=a^2+2ab+b^2-2ab\\ &=a^2+b^2. \end{aligned}$$

4. Раскроем скобки в левой части:
   $$\begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2. \end{aligned}$$

   Раскроем скобки в правой части:
   $$\begin{aligned} (ac+bd)^2+(ad-bc)^2&=(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)\\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2. \end{aligned}$$

   Следовательно,
   $$\begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$2(a^2+b^2)$$; 2) $$4ab$$; 3) $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$; 4) тождество доказано.