Задание 17 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом целом $$n$$ значение выражения $$(n-2)(n-1)n(n+1)+1$$ является квадратом целого числа.

$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1$$
сгруппируем множители:
$$(n-2)(n+1)\cdot(n-1)n+1.$$
Вычислим каждую скобку:
$$(n-2)(n+1)=n^2-n-2,$$
$$(n-1)n=n^2-n.$$
Тогда
$$(n^2-n-2)(n^2-n)+1.$$
Обозначим
$$a=n^2-n.$$
Получим
$$(a-2)a+1=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$
Возвращаясь к переменной $$n$$, имеем
$$(n^2-n-1)^2.$$
Значит, выражение при любом целом $$n$$ является квадратом целого числа.

Ответ

$$(n^2-n-1)^2$$