Задание 11 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $$x$$, укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$:
1) $$-x^2+6x-12$$;
2) $$16x-64x^2-2$$.

1. $$-x^2+6x-12=-(x^2-6x+12)=-(x^2-6x+9+3)= -((x-3)^2+3)$$

   $$=-(x-3)^2-3$$

   Так как $$(x-3)^2 \ge 0$$, то $$-(x-3)^2 \le 0$$, значит

   $$-(x-3)^2-3<0$$

   при всех значениях $$x$$.

   Наибольшее значение выражения равно $$-3$$ и достигается при

   $$x-3=0,\quad x=3.$$

2. $$16x-64x^2-2=-(64x^2-16x+2)=-(64x^2-16x+1+1)$$

   $$=-((8x-1)^2+1)=-(8x-1)^2-1$$

   Так как $$(8x-1)^2 \ge 0$$, то $$-(8x-1)^2 \le 0$$, значит

   $$-(8x-1)^2-1<0$$

   при всех значениях $$x$$.

   Наибольшее значение выражения равно $$-1$$ и достигается при

   $$8x-1=0,\quad x=\frac{1}{8}.$$

Ответ

1) Выражение отрицательно при всех $$x$$, наибольшее значение $$-3$$ при $$x=3$$.

2) Выражение отрицательно при всех $$x$$, наибольшее значение $$-1$$ при $$x=\frac{1}{8}$$.