Задание 9 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Придумайте 8 различных двучленов таких, что трёхчлены, равные квадратам этих двучленов, содержат одночлен $$18ab$$.

Подробный ответ

При возведении двучлена $$(ma+nb)^2$$ в квадрат получаем

$$(ma+nb)^2=m^2a^2+2mnab+n^2b^2.$$

Чтобы в результате появился одночлен $$18ab$$, нужно, чтобы

$$2mn=18,\quad mn=9.$$

Значит, подойдут любые различные пары чисел $$m$$ и $$n$$, произведение которых равно $$9$$. Приведём 8 таких двучленов:

$$a+9b$$
$$9a+b$$
$$4{,}5a+2b$$
$$2a+4{,}5b$$
$$3a+3b$$
$$18a+\frac12 b$$
$$\frac13 a+27b$$
$$\frac14 a+36b$$

Проверим, что их квадраты действительно содержат одночлен $$18ab$$:

$$(a+9b)^2=a^2+18ab+81b^2$$
$$(9a+b)^2=81a^2+18ab+b^2$$
$$(4{,}5a+2b)^2=20{,}25a^2+18ab+4b^2$$
$$(2a+4{,}5b)^2=4a^2+18ab+20{,}25b^2$$
$$(3a+3b)^2=9a^2+18ab+9b^2$$
$$\left(18a+\frac12 b\right)^2=324a^2+18ab+\frac14 b^2$$
$$\left(\frac13 a+27b\right)^2=\frac19 a^2+18ab+729b^2$$
$$\left(\frac14 a+36b\right)^2=\frac1{16}a^2+18ab+1296b^2$$