Задание 16 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 16. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n^2 + 1)(n — 1) — (n — 1)^3 кратно 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_wb7 16-16 715

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ (n^2+1)(n-1)-(n-1)^3=(n-1)\bigl(n^2+1-(n-1)^2\bigr) $$

Так как

$$ (n-1)^2=n^2-2n+1, $$

то

$$ (n-1)\bigl(n^2+1-(n^2-2n+1)\bigr)=(n-1)(2n)=2n(n-1). $$

Числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные натуральные числа, значит одно из них чётное. Тогда произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$, следовательно,

$$ 2n(n-1) $$

делится на $$4$$.

Значит, выражение $$ (n^2+1)(n-1)-(n-1)^3 $$ кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.