Упр.16.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

16. Найдите значение выражения $$\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\dots\left(1-\frac{1}{144}\right)$$.

$$\left(1-\frac14\right)\left(1-\frac19\right)\left(1-\frac1{16}\right)\cdots\left(1-\frac1{144}\right)$$
Представим каждый множитель в виде
$$1-\frac1{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.$$
Тогда
$$\left(1-\frac14\right)\left(1-\frac19\right)\left(1-\frac1{16}\right)\cdots\left(1-\frac1{144}\right) = \frac{3}{2^2}\cdot\frac{8}{3^2}\cdot\frac{15}{4^2}\cdots\frac{143}{12^2}.$$
Сократим:
$$\frac{3}{2^2}\cdot\frac{8}{3^2}\cdot\frac{15}{4^2}\cdots\frac{143}{12^2} = \frac{3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdots 11\cdot 13}{2^2\cdot 3^2\cdot 4^2\cdots 12^2}.$$
После сокращения остаётся
$$\frac{13}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12} = \frac{13}{2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6} = \frac{13}{24}.$$

Ответ

$$\frac{13}{24}$$