Упр.16.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 16.27. Найдите значение выражения (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)…(1-1/144).

Подробный ответ

$$ \left(1-\frac14\right)\left(1-\frac19\right)\left(1-\frac1{16}\right)\cdots\left(1-\frac1{144}\right) $$
Представим каждый множитель в виде
$$ 1-\frac1{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}. $$
Тогда
$$ \left(1-\frac14\right)\left(1-\frac19\right)\left(1-\frac1{16}\right)\cdots\left(1-\frac1{144}\right) = \frac{3}{2^2}\cdot\frac{8}{3^2}\cdot\frac{15}{4^2}\cdots\frac{143}{12^2}. $$
Сократим:
$$ \frac{3}{2^2}\cdot\frac{8}{3^2}\cdot\frac{15}{4^2}\cdots\frac{143}{12^2} = \frac{3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdots 11\cdot 13}{2^2\cdot 3^2\cdot 4^2\cdots 12^2}. $$
После сокращения остаётся
$$ \frac{13}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12} = \frac{13}{2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6} = \frac{13}{24}. $$