Упр.16.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 16.24. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого — 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 16-24 715

Пусть данные натуральные числа равны $$m$$ и $$n$$. Тогда по условию

$$m=7a+4,\qquad n=7b+3,$$

где $$a$$ и $$b$$ — некоторые целые числа.

Рассмотрим разность квадратов:

$$ m^2-n^2=(7a+4)^2-(7b+3)^2. $$

Используем формулу разности квадратов:

$$ (7a+4)^2-(7b+3)^2=(7a+4-(7b+3))(7a+4+(7b+3)). $$

Упростим скобки:

$$ (7a+4-(7b+3))(7a+4+(7b+3))=(7a-7b+1)(7a+7b+7). $$

Вынесем 7 во втором множителе:

$$ (7a-7b+1)(7a+7b+7)=7(7a-7b+1)(a+b+1). $$

Следовательно, разность квадратов этих чисел делится на 7.

Ответ

$$m^2-n^2$$ кратна $$7$$.