Упр.16.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 16.24. Остаток от деления на $$7$$ одного натурального числа равен $$4$$, а другого — $$3$$. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна $$7$$.

Пусть данные натуральные числа равны $$m$$ и $$n$$. Тогда по условию

$$m=7a+4,\qquad n=7b+3,$$

где $$a$$ и $$b$$ — некоторые целые числа.

Рассмотрим разность квадратов:

$$m^2-n^2=(7a+4)^2-(7b+3)^2.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(7a+4)^2-(7b+3)^2=(7a+4-(7b+3))(7a+4+(7b+3)).$$

Упростим скобки:

$$(7a+4-(7b+3))(7a+4+(7b+3))=(7a-7b+1)(7a+7b+7).$$

Вынесем 7 во втором множителе:

$$(7a-7b+1)(7a+7b+7)=7(7a-7b+1)(a+b+1).$$

Следовательно, разность квадратов этих чисел делится на 7.

Ответ

$$m^2-n^2$$ кратна $$7$$.