Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Пусть эти двузначные числа имеют вид $$\overline{ab}=10a+b$$ и $$\overline{ba}=10b+a,$$ где $$a$$ и $$b$$ — цифры.

По условию:

$$(10a+b)^2-(10b+a)^2=693$$

Разность квадратов разложим на множители:

$$\bigl((10a+b)-(10b+a)\bigr)\bigl((10a+b)+(10b+a)\bigr)=693$$

$$(9a-9b)(11a+11b)=693$$

$$99(a-b)(a+b)=693$$

$$(a-b)(a+b)=7$$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то возможны только положительные множители числа $$7$$:

$$a-b=1,\quad a+b=7$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=7 \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2a=8,\quad a=4$$

Тогда

$$b=3$$

Искомые числа:

$$43 \text{ и } 34$$

Ответ

43 и 34.