Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 16.23. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 16-23 715

Пусть эти двузначные числа имеют вид $$\overline{ab}=10a+b$$ и $$\overline{ba}=10b+a,$$ где $$a$$ и $$b$$ — цифры.

По условию:

$$ (10a+b)^2-(10b+a)^2=693 $$

Разность квадратов разложим на множители:

$$ \bigl((10a+b)-(10b+a)\bigr)\bigl((10a+b)+(10b+a)\bigr)=693 $$

$$ (9a-9b)(11a+11b)=693 $$

$$ 99(a-b)(a+b)=693 $$

$$ (a-b)(a+b)=7 $$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то возможны только положительные множители числа $$7$$:

$$ a-b=1,\quad a+b=7 $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a-b=1,\\ a+b=7 \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$ 2a=8,\quad a=4 $$

Тогда

$$ b=3 $$

Искомые числа:

$$ 43 \text{ и } 34 $$

Ответ

43 и 34.