Упр.16.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

16. 22. Докажите тождество: $$(m^3-n^3)^2(m^3+n^3)^2-(m^6+n^6)^2=-4m^6n^6.$$

Преобразуем левую часть тождества по формуле разности квадратов:

$$(m^3-n^3)^2(m^3+n^3)^2-(m^6+n^6)^2$$

$$=\Big((m^3-n^3)(m^3+n^3)\Big)^2-(m^6+n^6)^2$$

$$=\Big((m^3-n^3)(m^3+n^3)-(m^6+n^6)\Big)\Big((m^3-n^3)(m^3+n^3)+(m^6+n^6)\Big).$$

Так как

$$(m^3-n^3)(m^3+n^3)=m^6-n^6,$$

то получаем:

$$(m^6-n^6-(m^6+n^6))(m^6-n^6+(m^6+n^6))$$

$$=(-2n^6)(2m^6)=-4m^6n^6.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$(m^3-n^3)^2(m^3+n^3)^2-(m^6+n^6)^2=-4m^6n^6$$