Упр.16.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

16. 21. Докажите, что:
    1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
    2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.

1) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$.

Тогда их разность квадратов равна:

$$(2n+2)^2-(2n)^2$$

Применим формулу разности квадратов:

$$(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)$$

С другой стороны, сумма этих чисел равна:

$$2n+(2n+2)=4n+2$$

Значит,

$$(2n+2)^2-(2n)^2=2\bigl(2n+(2n+2)\bigr),$$

то есть разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

2) Пусть два последовательных нечётных числа — это $$2n-1$$ и $$2n+1$$.

Тогда их разность квадратов равна:

$$(2n+1)^2-(2n-1)^2$$

Применим формулу разности квадратов:

$$\bigl((2n+1)-(2n-1)\bigr)\bigl((2n+1)+(2n-1)\bigr)$$

$$=2\cdot 4n=8n$$

Число $$8n$$ делится нацело на $$8$$.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на $$8$$.

Ответ

1) $$(2n+2)^2-(2n)^2=2\bigl((2n)+(2n+2)\bigr)$$; 2) $$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$$, значит, делится нацело на $$8$$.