Упр.16.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.

1) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$.

Тогда их разность квадратов равна:

$$ (2n+2)^2-(2n)^2 $$

Применим формулу разности квадратов:

$$ (2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2) $$

С другой стороны, сумма этих чисел равна:

$$ 2n+(2n+2)=4n+2 $$

Значит,

$$ (2n+2)^2-(2n)^2=2\bigl(2n+(2n+2)\bigr), $$

то есть разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

2) Пусть два последовательных нечётных числа — это $$2n-1$$ и $$2n+1$$.

Тогда их разность квадратов равна:

$$ (2n+1)^2-(2n-1)^2 $$

Применим формулу разности квадратов:

$$ \bigl((2n+1)-(2n-1)\bigr)\bigl((2n+1)+(2n-1)\bigr) $$

$$ =2\cdot 4n=8n $$

Число $$8n$$ делится нацело на $$8$$.

Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на $$8$$.

Ответ

1) $$ (2n+2)^2-(2n)^2=2\bigl((2n)+(2n+2)\bigr) $$; 2) $$ (2n+1)^2-(2n-1)^2=8n $$, значит, делится нацело на $$8$$.