Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 16.20. Докажите, что: 1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел; 2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.

1) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$. Тогда их разность квадратов равна

$$(n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=1\cdot(2n+1)=2n+1.$$

С другой стороны, сумма этих чисел:

$$n+(n+1)=2n+1.$$

Значит, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

2) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда

$$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1).$$

Полученное выражение делится нацело на $$4$$, так как имеет вид $$4\cdot(2n+1)$$.

Ответ

1) $$(n+1)^2-n^2=n+(n+1)$$; 2) $$(2n+2)^2-(2n)^2$$ делится нацело на $$4$$.