Задание 16 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(n^2+1)(n-1)-(n-1)^3$$ кратно 4.

Преобразуем выражение:

$$(n^2+1)(n-1)-(n-1)^3=(n-1)\bigl(n^2+1-(n-1)^2\bigr)$$

Так как

$$(n-1)^2=n^2-2n+1,$$

то

$$(n-1)\bigl(n^2+1-(n^2-2n+1)\bigr)=(n-1)(2n)=2n(n-1).$$

Числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные натуральные числа, значит одно из них чётное. Тогда произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$, следовательно,

$$2n(n-1)$$

делится на $$4$$.

Значит, выражение $$(n^2+1)(n-1)-(n-1)^3$$ кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Выражение кратно $$4$$.