Упр.16.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения: 1) $$(5n+4)^2-(5n-4)^2$$ делится нацело на 80; 2) $$(9n+10)-(9n+8)$$ делится нацело на 36; 3) $$(10n+2)^2-(4n-10)^2$$ делится нацело на 12.

1. $$\begin{aligned} (5n+4)^2-(5n-4)^2&=\bigl((5n+4)-(5n-4)\bigr)\bigl((5n+4)+(5n-4)\bigr)\\ &=8\cdot 10n\\ &=80n. \end{aligned}$$
   Значит, выражение делится нацело на $$80$$.

2. $$\begin{aligned} (9n+10)-(9n+8)&=9n+10-9n-8\\ &=2. \end{aligned}$$
   Здесь в исходном тексте решения, вероятно, пропущены скобки. Если выражение записано именно так, то оно равно $$2$$ и на $$36$$ не делится.
   Если же имелось в виду произведение $$(9n+10)(9n+8)$$, тогда:
   $$\begin{aligned} (9n+10)(9n+8)&=(9n+9+1)(9n+9-1)\\ &=(9n+9)^2-1\\ &=81(n+1)^2-1, \end{aligned}$$
   но это тоже не даёт делимость на $$36$$ для любого натурального $$n$$.

3. $$\begin{aligned} (10n+2)^2-(4n-10)^2&=\bigl((10n+2)-(4n-10)\bigr)\bigl((10n+2)+(4n-10)\bigr)\\ &= (6n+12)(14n-8)\\ &=6(n+2)\cdot 2(7n-4)\\ &=12(n+2)(7n-4). \end{aligned}$$
   Следовательно, выражение делится нацело на $$12$$.

Ответ

1) делится на $$80$$; 2) в записи задания, вероятно, есть ошибка; 3) делится на $$12$$.