Задание 18 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Известно, что целое число n не кратно 3. Докажите, что значение выражения $$n^2+8$$ кратно 3.

Так как число $$n$$ не кратно $$3$$, то оно при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$ или $$2$$. Значит, можно записать:

$$n=3k+1$$ или $$n=3k+2,$$ где $$k$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1,$$ то

$$n^2+8=(3k+1)^2+8=9k^2+6k+1+8=9k^2+6k+9=3(3k^2+2k+3).$$

Следовательно, $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

2) Если $$n=3k+2,$$ то

$$n^2+8=(3k+2)^2+8=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12=3(3k^2+4k+4).$$

Следовательно, $$n^2+8$$ также кратно $$3$$.

В обоих случаях выражение $$n^2+8$$ делится на $$3$$.

Ответ

$$n^2+8$$ кратно $$3$$.