Упр.15.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

15. Докажите, что значение выражения $$1000\cdot1002(1001^2+1)+1$$ является четвёртой степенью натурального числа.

Пусть $$1001=n$$. Тогда $$1000=n-1$$, $$1002=n+1$$, и данное выражение можно записать так:

$$1000\cdot 1002(1001^2+1)+1=(n-1)(n+1)(n^2+1)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$(n-1)(n+1)(n^2+1)+1=(n^2-1)(n^2+1)+1.$$

Раскроем скобки:

$$(n^2-1)(n^2+1)+1=n^4-1+1=n^4.$$

Так как $$n=1001$$, получаем:

$$n^4=1001^4.$$

Следовательно, значение выражения является четвертой степенью натурального числа.

Ответ

$$1001^4$$