Упр.15.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 15.29. Докажите, что значение выражения 1000•1002(1001^2+1)+1 является четвертой степенью натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 15-29 715

Пусть $$1001=n$$. Тогда $$1000=n-1$$, $$1002=n+1$$, и данное выражение можно записать так:

$$1000\cdot 1002(1001^2+1)+1=(n-1)(n+1)(n^2+1)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$ (n-1)(n+1)(n^2+1)+1=(n^2-1)(n^2+1)+1. $$

Раскроем скобки:

$$ (n^2-1)(n^2+1)+1=n^4-1+1=n^4. $$

Так как $$n=1001$$, получаем:

$$n^4=1001^4.$$

Следовательно, значение выражения является четвертой степенью натурального числа.

Ответ

$$1001^4$$