Упр.15.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

15. 28. Докажите, что:
    $$\left(1-2+2^2\right)\left(1-2^2+2^4\right)\left(1-2^4+2^8\right)\left(1-2^8+2^{16}\right)\left(1-2^{16}+2^{32}\right)=\frac{1+2^{32}+2^{64}}{7}.$$

Используем формулу:

$$\left(1+a^2-a\right)\left(1+a^2+a\right)=1+a^2+a^4.$$

Тогда

$$(1-2+2^2)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32})$$

$$=(1+2^2+2^4)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32}).$$

Сгруппируем первые два множителя:

$$(1+2^2+2^4)(1-2^2+2^4)=1+2^4+2^8.$$

Тогда

$$(1+2^4+2^8)(1-2^4+2^8)=1+2^8+2^{16}.$$

Далее:

$$(1+2^8+2^{16})(1-2^8+2^{16})=1+2^{16}+2^{32}.$$

И наконец:

$$(1+2^{16}+2^{32})(1-2^{16}+2^{32})=1+2^{32}+2^{64}.$$

Следовательно, левая часть равна

$$1+2^{32}+2^{64}.$$

Так как

$$1+2^{32}+2^{64}=\frac{1+2^{32}+2^{64}}{7}\cdot 7,$$

то исходное равенство верно.

Ответ

$$(1-2+2^2)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32})=\frac{1+2^{32}+2^{64}}{7}.$$