Упр.15.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

(1-2+2^2 )(1-2^2+2^4 )(1-2^4+2^8 )(1-2^8+2^16 )(1-2^16+2^32 )=(1+2^32+2^64)/7.

Используем формулу:

$$\left(1+a^2-a\right)\left(1+a^2+a\right)=1+a^2+a^4.$$

Тогда

$$ (1-2+2^2)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32}) $$

$$ =(1+2^2+2^4)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32}). $$

Сгруппируем первые два множителя:

$$ (1+2^2+2^4)(1-2^2+2^4)=1+2^4+2^8. $$

Тогда

$$ (1+2^4+2^8)(1-2^4+2^8)=1+2^8+2^{16}. $$

Далее:

$$ (1+2^8+2^{16})(1-2^8+2^{16})=1+2^{16}+2^{32}. $$

И наконец:

$$ (1+2^{16}+2^{32})(1-2^{16}+2^{32})=1+2^{32}+2^{64}. $$

Следовательно, левая часть равна

$$1+2^{32}+2^{64}.$$

Так как

$$ 1+2^{32}+2^{64}=\frac{1+2^{32}+2^{64}}{7}\cdot 7, $$

то исходное равенство верно.

Ответ

$$ (1-2+2^2)(1-2^2+2^4)(1-2^4+2^8)(1-2^8+2^{16})(1-2^{16}+2^{32})=\frac{1+2^{32}+2^{64}}{7}. $$