Упр.15.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 15.24. Чему равно значение выражения: 1) $$81^{15}\cdot 8^{20}-(6^{30}+1)(6^{30}-1)$$; 2) $$5^{24}-(5^3-2)(5^3+2)(5^6+4)(5^{12}+16)$$?

1. $$81^{15}\cdot 8^{20}-(6^{30}+1)(6^{30}-1)$$

   Представим числа в виде степеней:
   $$81=3^4,\quad 8=2^3$$

   Тогда
   $$81^{15}\cdot 8^{20}=(3^4)^{15}\cdot(2^3)^{20}=3^{60}\cdot 2^{60}=(3\cdot 2)^{60}=6^{60}.$$

   Используем формулу разности квадратов:
   $$(6^{30}+1)(6^{30}-1)=6^{60}-1.$$

   Тогда
   $$6^{60}-(6^{60}-1)=1.$$

2. $$5^{24}-(5^3-2)(5^3+2)(5^6+4)(5^{12}+16)$$

   Сначала перемножим первые два множителя:
   $$(5^3-2)(5^3+2)=5^6-4.$$

   Тогда выражение принимает вид:
   $$5^{24}-(5^6-4)(5^6+4)(5^{12}+16).$$

   Снова применим формулу разности квадратов:
   $$(5^6-4)(5^6+4)=5^{12}-16.$$

   Получаем:
   $$5^{24}-(5^{12}-16)(5^{12}+16).$$

   Ещё раз используем формулу разности квадратов:
   $$(5^{12}-16)(5^{12}+16)=5^{24}-256.$$

   Тогда
   $$5^{24}-(5^{24}-256)=256.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$256$$.