Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 15.22. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$\left(9n-4\right)\left(9n+4\right)-\left(8n-2\right)\left(4n+3\right)+5\left(6n+9\right)$$ делится нацело на $$7$$.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)=$$
$$=81n^2-16-(32n^2+24n-8n-6)+30n+45$$
$$=81n^2-16-32n^2-16n+6+30n+45$$
$$=49n^2+14n+35$$
$$=7(7n^2+2n+5).$$

Так как выражение представлено в виде произведения на 7, то оно делится нацело на 7 при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Выражение делится нацело на 7 при любом натуральном $$n$$.