Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

15. 20. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)$$ делится нацело на $$12$$.

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

$$(7n+8)(7n-8)=49n^2-64$$
$$(5n+10)(5n-10)=25n^2-100$$

Тогда

$$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)=49n^2-64-(25n^2-100)$$
$$=49n^2-64-25n^2+100$$
$$=24n^2+36$$
$$=12(2n^2+3)$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$12$$, то оно делится нацело на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$12(2n^2+3),$$ выражение делится нацело на $$12$$.