Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 15.20. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10) делится нацело на 12.

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

$$ (7n+8)(7n-8)=49n^2-64 $$
$$ (5n+10)(5n-10)=25n^2-100 $$

Тогда

$$ (7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)=49n^2-64-(25n^2-100) $$
$$ =49n^2-64-25n^2+100 $$
$$ =24n^2+36 $$
$$ =12(2n^2+3) $$

Так как выражение представлено в виде произведения на $12$, то оно делится нацело на $12$ при любом натуральном $n$.

Ответ

$$12(2n^2+3),$$ выражение делится нацело на $12$.