Задание 15 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Остаток при делении на 9 натурального числа $$m$$ равен 7, а натурального числа $$n$$ — 2. Докажите, что разность квадратов чисел $$m$$ и $$n$$ делится нацело на 9.

Пусть неполное частное при делении числа $$m$$ на $$9$$ равно $$x$$. Тогда

$$m=9x+7.$$

Пусть неполное частное при делении числа $$n$$ на $$9$$ равно $$y$$. Тогда

$$n=9y+2.$$

Рассмотрим разность квадратов:

$$m^2-n^2=(9x+7)^2-(9y+2)^2$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$m^2-n^2=(9x+7-(9y+2))(9x+7+(9y+2))$$

$$=(9x-9y+5)(9x+9y+9)$$

$$=(9x-9y+5)\cdot 9(x+y+1).$$

Следовательно, $$m^2-n^2$$ делится нацело на $$9$$.

Ответ

$$m^2-n^2$$ делится нацело на $$9$$.