Задание 14 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на 99.

Пусть одно из двузначных чисел равно $$10a+b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число, записанное теми же цифрами, равно $$10b+a.$$

Рассмотрим разность их квадратов:

$$(10a+b)^2-(10b+a)^2$$

Применим формулу разности квадратов:

$$(10a+b-(10b+a))(10a+b+10b+a)$$

$$=(9a-9b)(11a+11b)$$

$$=9\cdot 11\,(a-b)(a+b)=99(a-b)(a+b).$$

Следовательно, эта разность делится нацело на $$99$$.

Ответ

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на $$99$$.