Задание 13 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8.

Пусть данное нечётное число равно $$2n-1,$$ где $$n$$ — натуральное число. Тогда рассмотрим выражение:

$$(2n-1)^2-1$$

Разложим его на множители:

$$(2n-1)^2-1=(2n-1-1)(2n-1+1)=(2n-2)\cdot 2n$$

$$(2n-2)\cdot 2n=2(n-1)\cdot 2n=4n(n-1)$$

Числа $$n$$ и $$n-1$$ — последовательные, значит одно из них чётное. Следовательно, произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$, а значит, число $$4n(n-1)$$ делится на $$8$$.

Итак, квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на $$8$$.

Ответ

Доказано.