Задание 10 Параграф 15 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения: 1) $$(n+11)^2-(n-4)^2$$ делится нацело на 15; 2) $$(9n+2)^2-(3n-2)^2$$ делится нацело на 12; 3) $$(7n+10)^2-(7n-6)^2$$ делится нацело на 32; 4) $$(9n+16)^2-(2n-5)^2$$ делится нацело на 77.

1. $$\begin{aligned} (n+11)^2-(n-4)^2&=(n+11-(n-4))(n+11+(n-4))\\ &=(15)(2n+7). \end{aligned}$$
   Значит, выражение делится нацело на $$15$$.
2. $$\begin{aligned} (9n+2)^2-(3n-2)^2&=(9n+2-(3n-2))(9n+2+(3n-2))\\ &=(6n+4)\cdot 12n\\ &=4(3n+2)\cdot 12n. \end{aligned}$$
   Так как $$4\cdot 3=12$$, то выражение делится нацело на $$12$$.
3. $$\begin{aligned} (7n+10)^2-(7n-6)^2&=(7n+10-(7n-6))(7n+10+(7n-6))\\ &=(16)(14n+4)\\ &=16\cdot 2(7n+2)\\ &=32(7n+2). \end{aligned}$$
   Значит, выражение делится нацело на $$32$$.
4. $$\begin{aligned} (9n+16)^2-(2n-5)^2&=(9n+16-(2n-5))(9n+16+(2n-5))\\ &=(7n+21)(11n+11)\\ &=7(n+3)\cdot 11(n+1)\\ &=77(n+3)(n+1). \end{aligned}$$
   Следовательно, выражение делится нацело на $$77$$.

Ответ

1) делится на $$15$$; 2) делится на $$12$$; 3) делится на $$32$$; 4) делится на $$77$$.