Упр.1433 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ сумма $$x+y$$ принимает наименьшее значение, если:

$$\begin{cases}2x+3y=2a^2-12a+8,\\13x-2y=3a^2+8a+12.\end{cases}$$

Умножим первое уравнение системы на $$3$$, а второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 6x+9y=6a^2-36a+24,\\ 26x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$(26x-4y)-(6x+9y)=\left(6a^2+16a+24\right)-\left(6a^2-36a+24\right),$$
$$20x-13y=52a.$$

Удобнее исключить $$x$$. Для этого умножим первое уравнение системы на $$13$$, а второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 26x+39y=26a^2-156a+104,\\ 26x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$43y=20a^2-172a+80,$$
$$y=\frac{20a^2-172a+80}{43}.$$

Теперь найдём $$x+y$$. Из первого уравнения:

$$2x=2a^2-12a+8-3y.$$

Тогда

$$x+y=\frac{2a^2-12a+8-y}{2}.$$

Подставим найденное значение $$y$$ и упростим выражение. Получаем:

$$x+y=(a-2)^2.$$

Так как квадрат неотрицателен, то

$$(a-2)^2\ge 0.$$

Наименьшее значение сумма $$x+y$$ принимает при

$$(a-2)^2=0,$$
$$a-2=0,$$
$$a=2.$$

Ответ

$$a=2$$.