Упр.1417 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Можно ли утверждать, что значение выражения $$n^5+2n$$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $$n$$?

Рассмотрим остаток числа $$n$$ при делении на $$3$$. Возможны три случая:

1. Если $$n=3a$$, то

   $$n^3+2n=(3a)^3+2\cdot 3a=27a^3+6a=3(9a^3+2a),$$

   значит, выражение делится на $$3$$.

2. Если $$n=3a+1$$, то

   $$n^3+2n=(3a+1)^3+2(3a+1)$$

   $$=27a^3+27a^2+9a+1+6a+2$$

   $$=27a^3+27a^2+15a+3=3(9a^3+9a^2+5a+1),$$

   значит, выражение делится на $$3$$.

3. Если $$n=3a+2$$, то

   $$n^3+2n=(3a+2)^3+2(3a+2)$$

   $$=27a^3+54a^2+36a+8+6a+4$$

   $$=27a^3+54a^2+42a+12=3(9a^3+18a^2+14a+4),$$

   значит, выражение делится на $$3$$.

Во всех возможных случаях значение выражения $$n^3+2n$$ делится на $$3$$.

Ответ

Да, при любом натуральном $$n$$ выражение $$n^3+2n$$ делится нацело на $$3$$.