Упр.1416 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, не кратном 5, значение выражения $$n^4-1$$ делится нацело на 5.

Если $$n$$ не кратно $$5$$, то его можно представить в виде

$$n=5a+1,\; 5a+2,\; 5a+3 \text{ или } 5a+4,$$

где $$a$$ — натуральное число или ноль.

Рассмотрим остатки при делении $$n^4$$ на $$5$$:

$$1^4=1,\quad 2^4=16,\quad 3^4=81,\quad 4^4=256.$$

Во всех случаях

$$n^4 \equiv 1 \pmod{5}.$$

Тогда

$$n^4-1 \equiv 0 \pmod{5},$$

значит, выражение $$n^4-1$$ делится нацело на $$5$$ при любом натуральном $$n$$, не кратном $$5$$.

Ответ

$$n^4-1$$ делится нацело на $$5$$.