Упр.1415 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть натуральное число не кратно 3. Тогда оно имеет вид $$3n+1$$ или $$3n+2$$, где $$n$$ — натуральное число или целое неотрицательное число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если число имеет вид $$3n+1$$, то

$$(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3(3n^2+2n),$$

значит, выражение кратно 3.

2) Если число имеет вид $$3n+2$$, то

$$(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1),$$

значит, и в этом случае выражение кратно 3.

Следовательно, разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Ответ

Доказано: $$a^2-1$$ кратно 3 для любого натурального числа $$a$$, не кратного 3.