Упр.1414 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$n(n+2)(n+4)(n+6)+16$$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Преобразуем выражение:

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16$$

Сгруппируем множители:

$$n(n+6)(n+2)(n+4)+16$$

Заметим, что

$$n(n+6)=n^2+6n,$$

$$(n+2)(n+4)=n^2+6n+8.$$

Тогда

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n)(n^2+6n+8)+16.$$

Обозначим $$a=n^2+6n+4$$. Тогда

$$n^2+6n=a-4,$$

$$n^2+6n+8=a+4.$$

Получаем:

$$(n^2+6n)(n^2+6n+8)+16=(a-4)(a+4)+16=a^2-16+16=a^2.$$

Значит,

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n+4)^2.$$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ данное выражение является квадратом натурального числа.

Ответ

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n+4)^2.$$