Упр.1413 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1413 715

Преобразуем выражение:

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $$
$$ = n(n+3)(n+1)(n+2)+1 $$
$$ = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $$

Обозначим $$a=n^2+3n+1$$. Тогда

$$ n^2+3n=a-1,\qquad n^2+3n+2=a+1 $$

Следовательно,

$$ (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(a-1)(a+1)+1=a^2-1+1=a^2 $$

Значит,

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2 $$

Это квадрат натурального числа $$n^2+3n+1$$.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$