Упр.1413 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Преобразуем выражение:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$
$$= n(n+3)(n+1)(n+2)+1$$
$$= (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$$

Обозначим $$a=n^2+3n+1$$. Тогда

$$n^2+3n=a-1,\qquad n^2+3n+2=a+1$$

Следовательно,

$$(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(a-1)(a+1)+1=a^2-1+1=a^2$$

Значит,

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$

Это квадрат натурального числа $$n^2+3n+1$$.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$