Упр.1409 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения $$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9$$ делится нацело:

1. на 18;
2. на 36.

Преобразуем выражение:

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=17^9(17+1)-3\cdot 7^{24}(1-7).$$

Тогда

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=17^9\cdot 18-3\cdot 7^{24}\cdot(-6)=18\cdot 17^9+18\cdot 7^{24}.$$

Следовательно,

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=18\,(17^9+7^{24}).$$

Значит, данное выражение делится на $$18$$.

Теперь рассмотрим число $$17^9+7^{24}$$. Оба слагаемых нечётные, значит их сумма чётная. Тогда

$$17^9+7^{24}=2k$$

для некоторого целого $$k$$.

Подставим:

$$18\,(17^9+7^{24})=18\cdot 2k=36k.$$

Следовательно, исходное выражение делится и на $$36$$.

Ответ

1) делится на $$18$$; 2) делится на $$36$$.