Упр.140 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. В равенстве $$2(1{,}5x — 0{,}5)=7x+\ast$$ замените звёздочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение: 1) не имело корней; 2) имело бесконечно много корней; 3) имело один корень.
2. Какие из данных равенств являются тождествами:
   1) $$(2a — 3b)^2=(3b — 2a)^2$$;
   2) $$(a-b)^3=(b-a)^3$$;
   3) $$|a+5|=a+5$$;
   4) $$|a-6|=|b-a|$$;
   5) $$|a^2+4|=a^2+4$$;
   6) $$|a+b|=|a|+|b|$$;
   7) $$|a-1|=|a|-1$$;
   8) $$a^2-b^2=(a-b)^2$$?

1) Преобразуем левую часть уравнения:

$$2(1{,}5x-0{,}5)=3x-1.$$

Тогда получаем:

$$3x-1=7x+*,$$

$$-4x=*+1.$$

Рассмотрим случаи.

• Если корней нет, то коэффициент при $$x$$ должен исчезнуть, а свободные члены — не совпасть: $$*=-4x.$$
• Если корней бесконечно много, то уравнение должно превратиться в тождество: $$*=-4x-1.$$
• Если уравнение имеет один корень, то нужно, чтобы коэффициент при $$x$$ был ненулевым. Подойдёт, например: $$*=3.$$ Тогда $$-4x=4,$$ откуда $$x=-1.$$

2) Проверим, какие равенства являются тождествами.

1. $$(2a-3b)^2=(3b-2a)^2$$ — тождество, так как $$3b-2a=-(2a-3b).$$
2. $$(a-b)^3=(b-a)^3$$ — не является тождеством, так как $$b-a=-(a-b),$$ а значит $$(b-a)^3=-(a-b)^3.$$
3. $$|a+5|=a+5$$ — не является тождеством, верно только при $$a\ge -5.$$
4. $$|a-6|=|b-a|$$ — не является тождеством.
5. $$|a^2+4|=a^2+4$$ — тождество, так как $$a^2+4>0$$ при любом $$a.$$
6. $$|a+b|=|a|+|b|$$ — не является тождеством.
7. $$|a-1|=|a|-1$$ — не является тождеством.
8. $$a^2-b^2=(a-b)^2$$ — не является тождеством, так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ответ

1) $$*=-4x$$ — корней нет; $$*=-4x-1$$ — бесконечно много корней; $$*=3$$ — один корень.

2) Тождествами являются равенства 1 и 5.