Упр.14.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 14.23. Различные числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$a^2(b+c)=b^2(c+a)$$. Докажите, что $$a^2(b+c)=c^2(a+b)$$.

Преобразуем данное равенство:

$$a^2(b+c)=b^2(c+a)$$

$$a^2b+a^2c=b^2c+ab^2$$

$$a^2b-ab^2+a^2c-b^2c=0$$

$$ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0$$

$$ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0$$

$$(a-b)(ab+ac+bc)=0$$

Отсюда либо $$a=b$$, либо $$ab+ac+bc=0$$.

Если $$a=b$$, то из условия получаем:

$$a^2(a+c)=a^2(c+a),$$

то есть равенство верно.

Если $$ab+ac+bc=0$$, то нужно доказать, что

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^2(b+c)-c^2(a+b)=a^2b+a^2c-ac^2-bc^2$$

$$=b(a^2-c^2)+ac(a-c)$$

$$=b(a-c)(a+c)+ac(a-c)$$

$$=(a-c)(ab+bc+ac).$$

Так как $$ab+ac+bc=0$$, то

$$(a-c)(ab+bc+ac)=0,$$

значит,

$$a^2(b+c)-c^2(a+b)=0,$$

то есть

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$

Ответ

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$