Упр.14.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 14.21. Целые числа a, b и c таковы, что a+b+c=1. Докажите, что значение выражения (a+bc)(b+ac)(c+ab) является квадратом целого числа.

Так как $$a+b+c=1,$$ то

$$a=1-b-c,\quad b=1-a-c,\quad c=1-a-b.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} (a+bc)(b+ac)(c+ab) &=(1-b-c+bc)(1-a-c+ac)(1-a-b+ab)\\ &=((1-b)-c(1-b))((1-a)-c(1-a))((1-a)-b(1-a))\\ &=(1-b)(1-c)(1-a)\cdot(1-b)(1-c)(1-a)\\ &=(1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2\\ &=\bigl((1-a)(1-b)(1-c)\bigr)^2. \end{aligned} $$

Следовательно, значение выражения является квадратом целого числа.

Ответ

$$\bigl((1-a)(1-b)(1-c)\bigr)^2$$