Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

14. 20. Целые числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$ab+bc+ac=1$$. Докажите, что значение выражения $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$$ является квадратом целого числа.

Так как $$ab+bc+ac=1,$$ то

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a^2+ab+ac+bc)(b^2+ab+ac+bc)(c^2+ab+ac+bc).$$

Преобразуем каждый множитель:

$$a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+c(b+c),$$
$$b^2+ab+ac+bc=b(a+b+c)+a(c+b),$$
$$c^2+ab+ac+bc=c(a+b+c)+b(a+c).$$

Удобнее сразу заметить, что

$$a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc,$$
$$b^2+1=b(a+b+c)+ac,$$
$$c^2+1=c(a+b+c)+ab.$$

Тогда исходное выражение можно представить в виде

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2.$$

Следовательно,

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=\bigl((a+b)(b+c)(c+a)\bigr)^2,$$

то есть это квадрат целого числа.

Ответ

$$\bigl((a+b)(b+c)(c+a)\bigr)^2$$ — квадрат целого числа.