Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 14.20. Целые числа a, b и c таковы, что ab+bc+ac=1. Докажите, что значение выражения (a^2 +1)(b^2 +1)(c^2 +1) является квадратом целого числа.

Подробный ответ

Так как $$ab+bc+ac=1,$$ то

$$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a^2+ab+ac+bc)(b^2+ab+ac+bc)(c^2+ab+ac+bc). $$

Преобразуем каждый множитель:

$$ a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+c(b+c), $$
$$ b^2+ab+ac+bc=b(a+b+c)+a(c+b), $$
$$ c^2+ab+ac+bc=c(a+b+c)+b(a+c). $$

Удобнее сразу заметить, что

$$ a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc, $$
$$ b^2+1=b(a+b+c)+ac, $$
$$ c^2+1=c(a+b+c)+ab. $$

Тогда исходное выражение можно представить в виде

$$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2. $$

Следовательно,

$$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=\bigl((a+b)(b+c)(c+a)\bigr)^2, $$

то есть это квадрат целого числа.