Упр.14.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 14.17. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, большем 1, значение выражения $$7^{n+2}-5^{n+2}+5^n+7^n$$ делится нацело на 50.

Преобразуем выражение:

$$7^{n+2}-5^{n+2}+5^n+7^n=(7^{n+2}+7^n)-(5^{n+2}-5^n).$$

Вынесем общий множитель:

$$7^n(7^2+1)-5^n(5^2-1)=7^n(49+1)-5^n(25-1).$$

Тогда

$$7^{n+2}-5^{n+2}+5^n+7^n=7^n\cdot 50-5^n\cdot 24.$$

Так как $$24=5\cdot 12-\!1$$, удобнее представить второе слагаемое так:

$$5^n\cdot 24=5^{n-2}\cdot 5^2\cdot 24=5^{n-2}\cdot 25\cdot 24=5^{n-2}\cdot 50\cdot 12.$$

Следовательно,

$$7^{n+2}-5^{n+2}+5^n+7^n=50\cdot 7^n-50\cdot 5^{n-2}\cdot 12=50\bigl(7^n-5^{n-2}\cdot 12\bigr).$$

Значит, данное выражение делится нацело на $$50$$.

Ответ

Выражение делится нацело на $$50$$.