Упр.14.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 14.16. Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения 3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n делится нацело на 10. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 14-16 715

Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n).$$

Вынесем общий множитель:

$$3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n(9+1)-2^n(4+1).$$

Тогда

$$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5=3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 10=10(3^n-2^{n-1}).$$

Следовательно, выражение делится нацело на $10$ при любом натуральном $n>1$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=10(3^n-2^{n-1}),$$

значит, выражение делится нацело на $10$.