Упр.14.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 14.16. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, большем 1, значение выражения $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится нацело на 10.

Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n).$$

Вынесем общий множитель:

$$3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n(9+1)-2^n(4+1).$$

Тогда

$$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5=3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 10=10(3^n-2^{n-1}).$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n>1$$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=10(3^n-2^{n-1}),$$

значит, выражение делится нацело на $$10$$.