Упр.14.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 14.15. Докажите, что при всех натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на 6.

Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+2n=n^3+2n^2+n^2+2n=n^2(n+2)+n(n+2)=(n+2)(n^2+n)=n(n+1)(n+2).$$

Получили произведение трёх последовательных натуральных чисел: $$n,\; n+1,\; n+2.$$

Среди трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, их произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.

Следовательно, выражение $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при всех натуральных $$n$$.