Упр.14.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 14.15. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3 +3n^2 +2n делится нацело на 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 14-15 715

Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+2n=n^3+2n^2+n^2+2n=n^2(n+2)+n(n+2)=(n+2)(n^2+n)=n(n+1)(n+2).$$

Получили произведение трёх последовательных натуральных чисел: $$n,\; n+1,\; n+2.$$

Среди трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, их произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.

Следовательно, выражение $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при всех натуральных $$n$$.