Упр.14.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 14.12. Разложите на множители выражение (n — натуральное число): 1) $$x^{n+2}+x^n-x^2-1$$; 2) $$4y^{n+4}+y^{n+2}+4y^3+y$$.

1) Представим выражение в виде группировки:

$$x^{n+2}+x^n-x^2-1=x^n(x^2+1)-(x^2+1).$$

Вынесем общий множитель:

$$x^n(x^2+1)-(x^2+1)=(x^2+1)(x^n-1).$$

2) Сгруппируем слагаемые:

$$4y^{n+4}+y^{n+2}+4y^3+y=(4y^{n+4}+4y^3)+(y^{n+2}+y).$$

Вынесем общий множитель в каждой скобке:

$$4y^{n+4}+4y^3=4y^3(y^{n+1}+1),$$

$$y^{n+2}+y=y(y^{n+1}+1).$$

Тогда

$$4y^3(y^{n+1}+1)+y(y^{n+1}+1)=(y^{n+1}+1)(4y^3+y).$$

Ещё раз вынесем общий множитель:

$$(y^{n+1}+1)(4y^3+y)=y(y^{n+1}+1)(4y^2+1).$$

Ответ

1) $$(x^2+1)(x^n-1)$$

2) $$y(y^{n+1}+1)(4y^2+1)$$