Упр.1391 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$ кратно 4.

Преобразуем выражение:

$$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$

Раскроем квадрат двучлена:

$$(4n^2-2n-1)^2=16n^4-16n^3-4n^2+4n+1$$

Тогда

$$16n^4-(16n^4-16n^3-4n^2+4n+1)+8n+1$$

$$=16n^3+4n^2+4n$$

$$=4(4n^3+n^2+n)$$

Следовательно, выражение делится на $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Выражение кратно $$4$$ при любом натуральном значении $$n$$.