Упр.1390 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5$$ кратно $$6$$.

Преобразуем выражение:

$$(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5$$

Раскроем скобки:

$$(n^2-3n+1)^2=n^4-6n^3+11n^2-6n+1$$

Тогда

$$\begin{aligned} &(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5 \\ &= n^4-6n^3+11n^2-6n+1-n^4-8n^2+3n+5 \\ &= -6n^3+3n^2-3n+6 \\ &= -6(n^3-1)+3n(n-1). \end{aligned}$$

Так как

$$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1),$$

то первое слагаемое кратно $$6$$. Во втором слагаемом произведение $$n(n-1)$$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел, значит, одно из них чётное, поэтому $$n(n-1)$$ делится на $$2$$. Следовательно, $$3n(n-1)$$ кратно $$6$$.

Значит, всё выражение кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Выражение кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.