Упр.1389 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения:
   1) $$(4n+19)^2-(3n-5)^2$$ делится нацело на $$7$$;
   2) $$(2n+5)^2-(2n-3)^2$$ делится нацело на $$16$$.

1) Преобразуем выражение по формуле разности квадратов:

$$(4n+19)^2-(3n-5)^2=((4n+19)-(3n-5))((4n+19)+(3n-5))$$

$$=(n+24)(7n+14)=7(n+24)(n+2)$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Аналогично:

$$(2n+5)^2-(2n-3)^2=((2n+5)-(2n-3))((2n+5)+(2n-3))$$

$$=8(4n+2)=16(2n+1)$$

Значит, выражение делится нацело на $$16$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) Делится нацело на $$7$$.
2) Делится нацело на $$16$$.